2018年成人高考專升本數(shù)學(xué)集合和簡(jiǎn)易邏輯三
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2018年成人高考專升本數(shù)學(xué)集合和簡(jiǎn)易邏輯三
【集合與集合的關(guān)系】
一些給定的集合，它們之間可以有種種關(guān)系，不過，最基木的要算“包含”與“相等”的關(guān)系。
1.子集：對(duì)于兩個(gè)集合A和B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則集合A 叫做集合B的子集，記作A⊆B 或 B⊇A，
讀作“A包含于B”，或“B包含A”.
子集的性質(zhì)：
(1) 任何一個(gè)集合A是它本身的子集：A⊆A,因?yàn)榧螦的任何一個(gè)元素都屬于集合A本身;
(2) 空集是任何一個(gè)集合A的子集：Ф∊A;
(3) 對(duì)于集合 A、B、C, 如 A⊆B, B⊆C,則 A⊆C.
2. 集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果A⊆B,同時(shí)B⊆A,那么稱集合A與集合B相等，記作A = B,
讀作：“A等于B”這就是說，集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素;反之，集合B的任何 一個(gè)元素都是集合A的元素.因而這兩個(gè)集合包含的元素完全一樣，兩個(gè)集合是同一個(gè)集合.
3. 真子集：如果且A⊆B且A≠B則稱集合A為集合B的真子集，記作
A⊊B或 B⊋A,
通常表示為 A⊂B或B⊃A.
下面是常見幾種數(shù)集的關(guān)系：
N⊊Z, Z⊊Q, Q⊊R.
4. 交集：由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作A∩B.讀作“A交B(圖1.2)，即
A∩B= {x | x∈A 且x∈B}
圖1. 2 圖1. 3
交集的性質(zhì)：
(1) A∩A = A; (2) A∩Ф=Ф; (3) A∩B=B∩A (交換律).
5. 并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作AUB，讀作“A并B”(如圖1.3),即
A⋃B= {x /X∊A 或x∊B}.并集的性質(zhì)：
(1) AUA=A; (2) AUФ=A, (3) AUB = BUA (交換律).
6. 全集與補(bǔ)集
(1)全集：在研究某些集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果這些集合都是某一個(gè)集合的子集，則這個(gè)給定的集合叫做全集，用符號(hào)U表示.這就是說，全集含有所要研究的各個(gè)集合的全部元素。
例如，在研究數(shù)集時(shí)，常常把實(shí)數(shù)集R作為全集;在研究圖形的集合時(shí)，常常把所有的空間圖形組成的集合作為全集.
注意：全集是相對(duì)于所討論的問題而言的，一個(gè)集合在一定條件下是全集，在另一個(gè)條件下就可能不是全集.例如，討論的集合僅含整數(shù)元時(shí)，則整數(shù)集可作為全集;若討論的集合包括分?jǐn)?shù)元時(shí)，則整數(shù)集不是全集，而有理數(shù)集或?qū)崝?shù)集則可作為全集.
(2)補(bǔ)集：如果已知全集為U，且集合A⊆U，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集，記作CuA，當(dāng)明確時(shí)，簡(jiǎn)記作CA (讀作“A補(bǔ)”)，即
CA= {x |x∊U 且 x∉A
圖1.4 中的長(zhǎng)方形內(nèi)表示全集U，圓的內(nèi)部表示集合A,斜線部分表示集合A在集合U中的 補(bǔ)集CA.換句話說，集合A的補(bǔ)集CA是從全集U中除去集合A的元素后剩下的元素組成的集合.如U=R= {實(shí)數(shù)}，Q= {有理數(shù)}，則Q的補(bǔ)集為 CQ= {無理數(shù)}.
全體無理數(shù)的集合CQ叫做無理數(shù)集
圖1.4
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