給排水工程師《基礎(chǔ)知識》數(shù)學基礎(chǔ)：函數(shù)與極限：集合的概念

函數(shù)與極限

1、集合的概念

一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合(簡稱集)。集合具有確定性(給定集合的元素必須是確定的)和互異性(給定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。

⑴、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)。記作N

⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。

⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。

⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。

⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“{｝”括起來表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。

集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A)。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A=B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

①、任何一個集合是它本身的子集。即A A

②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。(在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。)

即A∪B={x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。

即A∩B={x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、補集：

①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。

②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。

即CUA={x|x∈U，且x A｝。

集合中元素的個數(shù)

⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。

⑵、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A={a,b,c｝，則card(A)=3。

⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

我的問題：

1、 學校里開運動會，設(shè)A={x|x是參加一百米跑的同學｝，B={x|x是參加二百米跑的同學｝，C={x|x是參加四百米跑的同學｝。學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B;⑵、A∩B。

答：規(guī)定即 A∩B∩C=0

(1) A∪B 表示有參加一百米，二百米的同學

(2) A∩B表示既參加一百米又參加二百米的同學

2、 在平面直角坐標系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直線y=x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合C、D之間有什么關(guān)系?請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。

∵2x-y=1

x+4y=5

∴3x+3y=6

∴x+y=2

∴y=-x+2

兩條相互垂直的直線，與x軸的夾角分別為45°和135°，兩直線相交與(1,1)。而集合D表示此交點，同時此點位于集合C，所以應該是D∈C

3、 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集?是否存在實數(shù)a使A=B成立?

B={x|(x-1)(x-a)=0}。解得B={x|x=1,x=a}

當1<=a<=3時,B是A的子集,否則不是.

不存在實數(shù)a使A=B成立,因為A是一個區(qū)間集合,元素是無限的,而B的元素是有限的.

4、 對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)呢?

集合A元素個數(shù)記為I(A)

I(A)+I(B)=I(AUB)+I(AnB)

I(A)+I(B)+I(C)=I(AUBUC)+I(AnB)+I(AnC)+I(CnB)-I(AnBnC)

其他類似

5、 無限集合A={1，2，3，4，…，n，…｝，B={2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎?

建立A到B的對應: n è2n

此對應是一一對應(單的, 滿的)

所以兩個集合中元素一樣多.